Graficación de ecuaciones lineales

Icono IDevice ¿Cómo graficamos una ecuación lineal?

Cuando el conjunto de los números reales es el conjunto de sustitución de las dos variables de una ecuación de tipo que nos ocupa, la gráfica de dicha ecuación es una línea recta; este hecho es la causa de que a estas igualdades las llamemos ecuaciones lineales.

Hemos llamado solución de una ecuación lineal en x, y, a todo par ordenado (x, y) con componentes reales, los cuales al sustituir a las variables en la ecuación hacen cierta la igualdad, así, (0, -4) es una solución de 2x – 3y – 12 = 0, x, y, R, porque al hacer x = 0 y y= –4 en la ecuación resulta:

2(0) – 3(–4) – 12 = 0

12 – 12 = 0

0 = 0

La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución; entonces la gráfica de 2x – 3y – 12 = 0, x, y, R, es la de {(x, y) | 2x – 3y – 12 = 0; x, R }.

Como la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas ecuaciones las obtenemos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que contiene a estos dos puntos.

Ejemplo 5. Graficar la ecuación lineal: 2x – 3y – 12 = 0

Si x= 0
Solución 1 de la ecuación lineal 2x - 3y - 12 = 0

(0, –4) es una solución; otra solución se obtiene haciendo:

y = 0
Solución 2 de la ecuación lineal 2x - 3y - 12 = 0

Y la gráfica de la ecuación es la recta que pasa por (6,0) y (0, –4) es:

Gráfica de la ecuación lineal 2x - 3y - 12 = 0
Gráfica de la ecuación lineal 2x - 3y - 12 = 0

La intención de buscar las soluciones haciendo x = 0 y después y = 0, es hacer notar que la gráfica intersecta ambos ejes, y esto sucede siempre que en la ecuación lineal A y B son distintos de cero. (A, B 0).


Ejemplo 6.

Si en la ecuación 2x – 3y = 0, x es sustituida por cero (hacemos x = 0 tenemos (2)(0) – 3y = 0; de donde obtenemos que y = 0 también. Esto es, si x= 0 entonces y= 0, por lo que (0,0) es un par ordenado cuyos componentes hacen cierta la ecuación 2x – 3y = 0.

Siendo así que (0,0) es una solución de dicha ecuación, la gráfica de (0,0) es la intersección de los ejes coordenados en el mismo punto. O(0,0). Si queremos graficar la recta antes mencionada debemos encontrar al menos otra solución de su ecuación, como x R podemos asignarle a x cualquier valor real y determinar el correspondiente de y, por comodidad hagamos x=3, entonces la ecuación queda (2)(3) – 3y = 0, y al resolverla para y tenemos 3y = 6 ó y = 2; siendo entonces (3,2) la solución buscada, ahora graficamos los puntos correspondientes (0,0) (3,2) y por ellos trazamos la gráfica de la ecuación 2x – 3y = 0 mostrada a continuación:
Gráfica de la ecuación lineal 2x-3y=0
Gráfica de la ecuación lineal 2x - 3y = 0


Ejemplo 7. Graficar la ecuación lineal: y – 2 = 0.

Esta ecuación podemos escribirla como 0x + y – 2 = 0, de esta expresión podemos entender que el que no aparezca el término en x (Ax) en la ecuación lineal significa que el coeficiente de x es cero A = 0 y que por consecuencia A = 0 para todo x R y dado que 0 es el elemento identidad para la suma, la ecuación puede escribirse como y – 2 = 0 ó y = 2. De lo anterior debemos entender que sea cual sea el valor asignado a x la ecuación siempre queda como y = 2 o sea que y no cambia de valor (es constante) y es igual a 2 para cualquier valor asignado a x, en consecuencia la gráfica consta de todos los puntos del plano cuya ordenada (y) es 2.

 

Ejemplo 8. Graficar la ecuación lineal: x – 2 = 0.

Esta ecuación puede escribirse como x + 0y – 2= 0, y podemos notar que para cualquier valor de y, y R, x siempre es igual a 2.

La siguiente gráfica ilustra claramente los ejemplos 7 y 8:
Gráfica para los ejemplos 7 y 8
En resumen, las rectas horizontales o verticales tienen ecuaciones sencillas, según se aprecia en la tabla siguiente:

 

Tabla-resumen de las rectas horizontales y verticales